Ferramentas tecnológicas nas aulas de Matemática

Nenhuma das inovações tecnológicas substitui o trabalho clássico na disciplina, centrado na resolução de problemas. Estratégias como cálculo mental, contas com algoritmos e criação de gráficos e de figuras geométricas com lápis, borracha, papel, régua, esquadro e compasso seguem sendo essencias para o desenvolvimento do raciocínio matemático. 

Entretanto, saber usar calculadoras e conhecer os princípios básicos de planilhas eletrônicas do tipo Excel são hoje demandas sociais. Você deve introduzir esses recursos nas aulas - mas com o cuidado de pontuar que eles não fazem mágica alguma. Ao contrário, sua utilidade se aplica apenas a situações específicas. "O professor deve mostrar que eles são importantes para poupar tempo de operações demoradas, como cálculos e construções de gráficos, quando o que importa é levantar as ideias mais relevantes sobre como resolver a questão", defende Ivone Domingues, coordenadora pedagógica da Escola da Vila. 

Enquanto as propostas com calculadora parecem estar mais disseminadas (é comum em várias escolas, por exemplo, utilizá-las para conhecer propriedades do sistema de numeração ou validar contas), o trabalho com planilhas eletrônicas ainda ensaia os primeiros passos. Vale a pena considerar o uso desses aplicativos, já que eles permitem aliar vários conteúdos: coleta de dados, inserção de fórmulas algébricas para cálculos, elaboração de tabelas e tratamento da informação (leia a sequência didática no quadro ao lado). 

É importante que as atividades incluam desafios que questionem e ampliem o conhecimento da turma: o que acontece com os resultados da tabela se modificarmos um dos dados da fórmula? E com o gráfico, caso troquemos os valores da tabela? Para mostrar dados cuja soma chega a 100%, qual o tipo mais adequado de gráfico: o de colunas, o de linhas ou o de pizza? "Nessas explorações, o aluno aprende a controlar melhor as alternativas de resolução que a ferramenta oferece", argumenta Ivone. 

Por fim, na área de Espaço e Forma, a mesma economia de tempo - dessa vez, na construção de figuras - é possibilitada por programas como o GeoGebra (disponível gratuitamente em www.geogebra.org) e o Cabri Gèométre (pago), que deixam a garotada analisar as propriedades de sólidos e planos, movimentando-os, marcando pontos ou traçando linhas sem a necessidade de redesenhar.
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/ferramentas-tecnologicas-aulas-matematica-476002.shtml

Equação do 1º grau no cotidiano

Observamos a aplicabilidade da equação do 1ºgrau quando vão fazer compras em um mercado, pois uma equação representa uma relação de igualdade entre duas expressões onde, pelo menos uma delas, seja composta por incógnitas(letras). Lembrar que as letras são utilizadas para representar números desconhecidos. A equação funciona como uma balança onde o equilíbrio da balança é a igualdade. No exemplo abaixo temos 4 blocos com (x) g de um lado e 2 blocos de 100g cada de outro , para sabermos quanto vale cada bloco do lado esquerdo temos que usar a igualdade já que estão em equilíbrio. Assim somaremos primeiramente os 4 blocos (x) dando 4x e igualando a somas dos 2 blocos de 100 g resultando 200 g. 
Temos:
 4 x = 200 g 
 x = 200/4 
 x = 50 g 

Pensamento do dia....

Agora é com vocês.....

1)O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número?

2)Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

3)Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas.Determine o número de bicicletas e de carros.

4)A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

5)Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

6)Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

7)Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

8)Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Exercícios Resolvidos

ExercíciosResolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta:Esse número é 100.

2)A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta:Esse número é 45.

3)O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta:Esse número é 8.

4)O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta:Esse número é 83.

Video aula Sistema de Equações

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Sistema de Equação do 1º Grau

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: 



Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 

Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 

Dado o sistema  , enumeramos as equações. 



Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 

x + y = 20 
x = 20 – y 

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 

 3x   +   4 y   = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 60-3y + 4y  = 72 
 -3y + 4y   =   72 – 60
       y = 12 

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 

Método da adição 

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 

Dado o sistema: 



Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 



Agora, o sistema fica assim: 



Adicionando as duas equações: 

       - 3x – 3y = - 60 
+     3x + 4y = 72                  y   = 12 

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 

x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.

fonte:http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistema-equacao.htm

Método da Comparação

Exemplo 1 

Isolando x na 1ª equação x + y = 7 
x = 7 – y 

Isolando x na 2ª equação x – 2y = – 5 
x = – 5 + 2y 

Realizando a comparação 
x = x 
7 – y = – 5 + 2y 
– y – 2y = –5 –7 
– 3y = – 12 *(–1) 
3y = 12 
y = 12/3 
y = 4 

Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4. 

x = – 5 +2y 
x = – 5 + 2 * 4 
x = – 5 + 8 
x = 3 

Solução do sistema: (3; 4) 


Exemplo 2

Isolando x na 1ª equação x + 2y = 40 
x = 40 – 2y 

Isolando y na 2ª equação x – 3y = – 35 
x = – 35 + 3y 

Realizando a comparação 
x = x 
–35 + 3y = 40 – 2y 
3y + 2y = 40 + 35 
5y = 75 
y = 15 


Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações. 

x = – 35 + 3y 
x = – 35 + 3 * 15 
x = –35 + 45 
x = 10 


Solução do sistema: (10; 15) 

Exemplo 3 




Isolar y na 1ª equação 2x + y = 4 
y = 4 – 2x 


Isolar y na 2ª equação 3x + y = – 3 
y = – 3 – 3x 

Realizando a comparação 
y = y 

4 – 2x = – 3 – 3x 
–2x + 3x = –3 – 4 
x = –7 

Calculando y através de x = – 7 

y = – 3 – 3x 
y = –3 – 3 * (–7) 
y = –3 + 21 
y = 18 


Solução do sistema: (–7; 18)

Agora Pratique !!!!!

Exercícios de Equações de 1º Grau

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?     2) Resolva as equações a seguir: a)18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

Equações do 1º Grau ( passo a passo)

1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?

Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.

Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.

Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:

x + 8 = 28 - x

A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.

O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.

x + x + 8 = 28

x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.

2x + 8 = 28

Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:

2x = 28 - 8

Realizando a subtração:

2x = 20

O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:

x=20/2

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:

x = 10

Portanto:

Eu tenho 10 carrinhos.

2) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, tãeno ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

x + x + 7 = 37

Ou seja:

2x + 7 = 37

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

2x = 37 - 7

Realizando a subtração:

2x = 30

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

x = 30/2

Que dividindo dá:

x = 15

Portanto:

Eu tenho 15 anos de idade.

3) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

7x - 2 = -4x + 5

7x + 4x = 5 + 2

11x =7

x = 7/11

Portanto:

⁷/₁₁ é a raiz da equação.

A Origem das Equações do 1º Grau

“Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem inteligente eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe propõe”.         François Viète

Este texto da Índia antiga fala de um passa tempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver.

Era muito difícil a Matemática nesse período. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas, usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas.

Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou problema.

Basta traduzi-los para o idioma da Álgebra: a equação.

Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do árabe adala, que significa “ser igual a“, de novo a idéia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece.

A primeira referencia a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000 anos.

Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos.

Os gregos resolviam equações através de Geometria.

Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa” era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa” em árabe.

No trabalho dos árabes, destaca-se o de Al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu equações de vários tipos.

Al-Khowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmifaz uma exposição completa dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante, Al-jabr wa’l mugãbalah, contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações.

As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”.

Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.

A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra.

Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc.

E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras, para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação.

Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim incognitu, que também quer dizer “coisa desconhecida”. A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação.

fonte:http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582

 Uma equação é uma igualdade onde figura sempre, pelo menos, uma letra.                                          

    Raiz ou solução de uma equação é um número que, colocado no lugar da   incógnita, transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira (proposição verdadeira).

     Duas equações são equivalentes quando as soluções da primeira são soluções da segunda e vice-versa.

     Obtemos uma equação equivalente quando passamos um termo de um membro para outro desde que se lhe troque o sinal.

    Obtemos uma equação equivalente quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

DIFERENTES TIPOS DE EQUAÇÃO SEGUNDO  O GRAU DO POLINÓMIO

EQUAÇÕES DE 1º GRAU	ax +b
EQUAÇÕES DE 2º GRAU	ax2 + bx +c
EQUAÇÕES DE GRAU SUPERIOR A DOIS	axn + axn-1+ ... + ax2 + ax + a = 0

  

EQUAÇÕES DE 1º GRAU 

Conta a lenda que um discípulo de Pitágoras lhe perguntou quantos alunos tinha a sua Escola.

   Pitágoras respondeu-lhe:

  

   “Metade estudam Geometria, a quarta parte a Natureza, a sétima parte meditam simplesmente e há ainda três mulheres.”

 

Quantos alunos tinha a Escola de Pitágoras?

  

   Para responder a esta pergunta vamos utilizar uma equação do 1º grau:

   Na equação    

x  =  x/2  +  x/4  +  x/7  +  3

   Temos:

   Incógnita:  x

   1º membro:  x

   2º membro:  x/2  +  x/4  +  x/7  +  3

   Quatro termos com a incógnita:  x  ;  x/2  ;  x/4  ;  x/7

   Um termo independente:  3

28 é solução da equação, porque                   28 = 28/2 + 28/4 + 28/7 + 3   
fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm23/equacoes.htm