Sistema de Equação do 1º Grau

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: 



Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 

Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 

Dado o sistema  , enumeramos as equações. 



Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 

x + y = 20 
x = 20 – y 

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 

 3x   +   4 y   = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 60-3y + 4y  = 72 
 -3y + 4y   =   72 – 60
       y = 12 

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 

Método da adição 

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 

Dado o sistema: 



Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 



Agora, o sistema fica assim: 



Adicionando as duas equações: 

       - 3x – 3y = - 60 
+     3x + 4y = 72                  y   = 12 

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 

x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.

fonte:http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistema-equacao.htm

Método da Comparação

Exemplo 1 

Isolando x na 1ª equação x + y = 7 
x = 7 – y 

Isolando x na 2ª equação x – 2y = – 5 
x = – 5 + 2y 

Realizando a comparação 
x = x 
7 – y = – 5 + 2y 
– y – 2y = –5 –7 
– 3y = – 12 *(–1) 
3y = 12 
y = 12/3 
y = 4 

Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4. 

x = – 5 +2y 
x = – 5 + 2 * 4 
x = – 5 + 8 
x = 3 

Solução do sistema: (3; 4) 


Exemplo 2

Isolando x na 1ª equação x + 2y = 40 
x = 40 – 2y 

Isolando y na 2ª equação x – 3y = – 35 
x = – 35 + 3y 

Realizando a comparação 
x = x 
–35 + 3y = 40 – 2y 
3y + 2y = 40 + 35 
5y = 75 
y = 15 


Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações. 

x = – 35 + 3y 
x = – 35 + 3 * 15 
x = –35 + 45 
x = 10 


Solução do sistema: (10; 15) 

Exemplo 3 




Isolar y na 1ª equação 2x + y = 4 
y = 4 – 2x 


Isolar y na 2ª equação 3x + y = – 3 
y = – 3 – 3x 

Realizando a comparação 
y = y 

4 – 2x = – 3 – 3x 
–2x + 3x = –3 – 4 
x = –7 

Calculando y através de x = – 7 

y = – 3 – 3x 
y = –3 – 3 * (–7) 
y = –3 + 21 
y = 18 


Solução do sistema: (–7; 18)